A brief history of mathematics by Fink K.

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Abb. 21. Dasvdem Kreis eingeschriebene Zwolfeck nahert sich der Kreisflache urn yieles besser als das dem Kreis eingeschriebene Sechseck. 53 nungen selbst gestalteten sich fur ihn bis zum 96-Eck jedoch keinesfalls einfach: die ineinandergeschachtelten Formeln wurden sogar fur ein mathematisches Genie wie Archimedes immer undurchschaubarer. Darum brach er seine Berechnungen beim 96-Eck ab und notierte als Ergebnis: Der Flacheninhalt eines Kreises ist im Vergleich zum Flacheninhalt des Quadrats mit dem Radius als Seite mindestens 3 + ~~ und hochstens 3 + ~ mal so grotS.

13. Der Beweis des Satzes von Thales: Die drei Strecken vom Kreismittelpunkt M zu den Dreiecksecken sind gleich lang, daher sind die Dreieckswinkel a und {3 auch im Punkt C auf dem Halbkreis wieder anzutreffen. tiber die Summe der Innenwinkel a, {3, ')' eines Dreiecks verwendet, ohne zu wissen, wie man diese begrtindet. Auch hier ist es klarerweise nicht damit getan, daB man an einigen irgendwie konstruierten Dreiecken die Innenwinkel miBt, deren jeweilige Summe berechnet und - innerhalb der MeBgenauigkeit - das Ergebnis 180 0 bestatigt.

Archimedes mit seinem Genie iiberlistet die stumpfsinnige Rechenarbeit jedes Computers; ihm gelingt die Berechnung dieser unendlichen Summe aufgrund der folgenden brillanten Idee: Untersuchen wir, wieviel nach jedem einzelnen Schritt bei der jeweiligen Summe noch auf 4/3 fehlt: Nach dem ersten Schritt sind es 4 3 1 3 ' - -1 =- nach dem zweiten Schritt sind es 4 5 1 1 3"-4"=12=3x4' nach dem dritt'en Schritt sind es 4 3 21 16 ---= 1 1 =--48 3 x 16 ' 49 nach dem vierten Schritt sind es 4 85 1 1 ---=--=--3 64 192 3 x 64 ' nach dem fiinften Schritt sind es 4 :3 - 341 1 1 256 = 768 = 3 x 256 ' nach dem sechsten Schritt sind es 4 :3 - 1365 1 1 1048 = 3144 = 3 x 1048 Es ist klar, wie dies fortgesetzt wird.

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